在解析几何与向量运算中，定比分点坐标公式是一个强大且实用的工具。它能够帮助我们精确求出一条线段上某一点的位置坐标，无论该点是位于线段内部还是其延长线上。掌握这个公式，意味着我们拥有了解决众多几何与物理问题的钥匙。
一、公式核心：定义与标准形式
所谓定比分点，是指点P将一条有向线段AB分成两段AP和PB，其长度之比为一个定值λ，即 AP/PB = λ。此时，点P的坐标可以通过端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)的坐标以及比值λ来计算。
其坐标公式为： P点的横坐标 x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) P点的纵坐标 y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ)
这个简洁的公式是定比分点定理的坐标化体现。
二、公式推导：从几何关系到代数表达
理解公式的由来能加深记忆。推导基于向量思想：向量AP与向量PB共线且方向相同（内分）或相反（外分），满足关系 AP = λ PB。将其转化为坐标分量形式，并进行移项整理，即可得到上述标准公式。这一过程完美体现了数形结合的思想。
三、关键概念：内分点与外分点
- 内分点：当点P在线段AB内部时，AP与PB方向相同，比值λ > 0。
- 外分点：当点P在线段AB（或BA）的延长线上时，AP与PB方向相反，比值λ < 0（且λ ≠ -1）。
这是应用公式时最容易出错的地方，务必根据点的实际位置判断λ的符号。
四、豪华应用实例：解题演示
为了让大家真正会用，我们看一个综合例题： “已知线段AB端点A(1, 2)，B(7, 8)，求一点P，使得AP:PB = 2:1。”
解：此处λ = 2。直接代入定比分点坐标公式： x = (1 + 27) / (1+2) = (1+14)/3 = 5 y = (2 + 28) / (1+2) = (2+16)/3 = 6 因此，点P的坐标为(5, 6)。我们也可以进一步验证，计算AP和PB的距离，确认其比值确为2:1。
五、延伸与联系：向量工具
该公式与向量知识紧密相连。在解决更复杂的问题，如三角形重心、垂心坐标计算时，往往需要多次或联合运用定比分点坐标公式和向量运算。它也是理解后续参数方程等知识的重要基础。
总结 定比分点坐标公式绝非一个孤立的数学结论。从理解定义、掌握推导，到明晰内外分区别，再到熟练应用于解题，每一步都构建着我们扎实的数学功底。建议读者在理解本文后，主动寻找相关习题进行练习，必定能将其内化为一项得心应手的数学技能，在学业与应用中游刃有余。